山东省外国语学校2009届高三年级统练（五）数学文科卷
第Ⅰ卷 （共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．集合 ，集合 ，则 等于
（ ）
A． B．
C． D．
2．直线 的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 = ，则 2 等于 （ ）
A． B． C．± D．±
4．已知回归直线的斜率的估计值是2.5，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（ ）
A． =4x＋5 B． =2.5x+5 C． =4x-5 D． =2.5x-5
5．某学校有教师160人，其中高中教师有104人，初中教师32人，小学教师24人，现从
中抽取一容量为20的样本，用分层抽样方法抽取的初中教师人数为 （ ）
A．3人 B．4人 C．7人 D．12人
6．如右图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的表
面积为
A. B．
C． D．
7．以下四个关于圆锥曲线的命题：
①双曲线 的离心率为 ；
②抛物线 的焦点坐标是 ；
③椭圆 上任一点P到两焦点距离之和为6；
④圆 与圆 恰好相切.
其中所有真命题的序号为 （ ）
A．①④ B．②④
C．①③ D．③④
8．右图中程序运行后输出的结果为 （ ）
A．3 43 B． 43 3
C．-18 16 D．16 -18
9．已知x、y满足约束条件 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10．函数 是R上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C． D．
11．已知实数 成等比数列，且曲线 的极大值点坐标为 ，则 等
于 （ ）
A．2 B．1 C．-1 D． -2
12．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分
钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，
则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是 （ ）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．若不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围为 ．
14．若 是纯虚数，则 的值为 ．
15．已知直线 , ，平面 , ，给出下列命题：
① 若 ，且 ，则 ；
② 若 ，且 ，则 ；
③ 若 ，且 ，则 ；
④ 若 ，且 ，则 ．
其中不正确的命题的序号是 ．
16．已知 ，
．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 和 的值．
18．（本小题满分12分）
已知等比数列｛ ｝中 ， ＝2，且 ， ， 成等差数列．
（1）求数列｛ ｝的通项公式；
（2）设 ，且 ，求 ．
19．（本小题满分12分）
一个盒子中装有标号为0，1，2，3，4，5的6张标签，随机地选取两张标签．
（1）求选出的两张标签的数字之和为5的概率；
（2）如果用选出的两张标签上的数字能组成一个两位数，求该两位数能被5整除的概率．
20．（本小题满分12分）
在三棱锥 中， ， ．
（1）证明： ⊥ ；
（2）求二面角A-BC-S的大小；
（3）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.

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21．（本小题满分13分）
如图已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍，且点M（2，1）在椭
圆上，平行于OM的直线 在y轴上的截距为m（m≠0），且交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）设直线MA、MB斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2=0．
22．（本小题满分13分）
已知函数 的图象经过原点，且在 处取得极值，曲线
在原点处的切线与直线 互相平行．
（1）求 的解析式；
（2）求 在 上的单调区间；
3）已知任意实数 和 求证：| ― | 成立．
参 考 答 案
一、选择题
1．解析： ， ，故选B．
2．解析： ， ， ，故必要但不充分条件是A．
3．解析：两边平方可得．故选B．
4．解析：样本点的中心一定在回归直线上，故选D．
5．解析：分层抽样一定要按比抽取，比为 ，故选B．
6．解析：该几何体为四棱锥，故选C．
7．解析：①离心率为 ；②焦点坐标是 ，故选D．
8．解析：选A．
9．解析： 表示区域内的点与原点连线的斜率，故选C．
10．解析： ，故选B．
11．解析：曲线 的极大值点坐标为（1，2），故选A．
12．解析：因为圆柱中液面上升的速度是一个常量，H与下落时间t（分）的函数关系反映
在图像上先慢后快．故选B．
二、填空题
13． 14． 15．②③ 16．
13．解析： 对一切 恒成立， 所以 ．
14．解析： 所以 = ．
15．解析：②③错
16．解析：由 得f(x+2)＝f(x-2)得f(x)为周期函数，
．
三、解答题
17．（1）解：由正弦定理得 ，
所以 可化为
，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，又 ，
∴ ,
又 是三角形的内角,即 ,
∴ .
（2）解：由 可得 ，又 ，故 ，
由 可得 ，
所以 即 ，∴ ．
18．（1）解：设数列｛ ｝的公比为q，由 ， ， 成等差数列，
，即 ，
解得： 或 ； ， ，
∴数列｛ ｝的通项公式为： ．
（2） ，
，
解得 （舍去），
．
19．解：（1）从6张标签中取两张标签基本事件有：0-1，0-2，0-3，0-4，0-5，1-2，1-3，1-4，
1-5，2-3，2-4，2-5，3-4，3-5，4-5，共15种，
其中两张标签数字之和为5的基本事件有：0-5，1-4，2-3，共3种
每个基本事件出现的概率相等，
所以选出的两张标签的数字之和为5的概率为
（2）任取两张标签能组成的两位数共有：十位是1的有5个；十位是2的有5个；十位
是3的有5个；十位是4的有5个；十位是5的有5个；总共有25个．
能被5整除的有：个位是0的5个，个位是5的有4个，共9个，
每一个两位数出现的概率相等，所以所求的概率为
20．解：（1） 且 平面 ，
∴ 为 在平面 内的射影．
又 ⊥ ， ∴ ⊥ ．
（2） 由（1） ⊥ ，又 ⊥ ，
∴ 为所求二面角的平面角．
又∵ = =4，
∴ =4 ． ∵ =2 ， ∴ =60°
即二面角 大小为60°
（3）过 作 于D，连结 ,
由（2）得平面 平面 ,又 平面 ,
∴平面 平面 ,且平面 平面 ,
∴ 平面 .
∴ 为 在平面 内的射影.
.
在 中，

在 中， ， .

∴ =.
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
21．解：（1）设椭圆方程为 （a>b>0）,
则 ∴所求椭圆方程 .
（2） ∵直线 ∥DM且在y轴上的截距为m，∴y= x+m.
由 ,
∵ 与椭圆交于A、B两点,∴△=（2m）2-4（2m2-4）>0 -2 （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则k1= ，k2=
由x2+2mx+2m2-4=0得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4
而k1+k2= + = （*）
又y1= x1+m,y2= x2+m, ∴（*）分子=（ x1+m-1）（x2-2）+（ x2+m -1）（x1-2）
=x1x2+（m-2）（x1+x2）-4（m-1）=2m2-4+（m-2）（-m）-4（m-1）=0 ∴k1+k2=0，证之．
22．（1）解：由题意有f(0)= c=0，fノ(x)=3 x2+2ax+b，且fノ(1)= 3+2a+b=0．
又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=fノ(0)= b，而切线与直线 互相平行，
∴b=―3．代入3+2a+b=0得a=0．
故f(x)的解析式为f(x)=x3―3x．
（2）解：由fノ(x)=3x2―3=3(x―1) (x+1)， ，可知，f(x)在(－2，―1)和[1， 2]
上递增；在[－1，1]递减．
所以 在 上的单调区间为(－2，―1)，[1， 2]，[－1，1]．
（3）证明：∵对于任意实数α和β有2sinα，2sinβ∈[－2，2]．
由（2）可知f(x)在(－2，―1)和[1， 2]上递增；在[－1，1]递减．
又f(―2)= ―2，f(―1)= 2，f(1)= ―2，f(2)= 2，
∴f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值分别为―2和2．
∴对于任意实数α和β恒有| f(2sinα)―f(2sinβ)|≤ 2 (123.233.99.137)

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